اهداف اصلي مطالعه ي منطق رياضي نظريه هاي رياضي مانند نظريه ي مجموعه ها، نظريه ي اعداد، و نظريه ي ساختارهاي جبري مانند گروه ها، حلقه ها، ميدان ها، ميدان هاي بسته ي جبري و مانند اين ها با هدف توسعه ي ابزار براي آزمون استحكام، تماميت، و ديگر پرسش هاي مشابه مرتبط با اساس اين نظريه هاست.
در اين بخش ما گام اول را در راستاي منطق و تعريف دقيقي از مفهوم يك نظريه ي مرتبه اول بر خواهيم داشت.
1.1زبان هاي مرتبه اول
اشياي مورد مطالعه در علوم طبيعي وجود فيزيكي دارد. در طرف مقابل، اشيا در رياضيات مفاهيمي چون مجموعه ها، تعلق ( )، اعداد طبيعي، اعداد حقيقي، اعداد مختلط، خطوط، خم ها، جمع، ضرب و مانند اين هاست.
در يك نظريه بايد همواره مفاهيم اوليه اي موجود باشد. براي آن كه كمي دقيق تر آن را بررسي كنيم، توجه كنيد كه يك مفهوم مي تواند توسط ديگر مفاهيم تعريف شود. براي مثال ، x-y عدد يكتاي z است چنان كه ؛ يا اگر x و y مجموعه باشند، اگر براي هر عنصر z ، ايجاب كند . بنابراين، تفريق به جاي جمع و زيرمجموعه ( ) به جاي تعلق ( ) مي تواند تعريف شود.
در آغاز، با تعداد كمينه اي از مفاهيم تعريف نشده آغاز مي كنيم.براي مثال، در نظريه ي گروه ها ، مفاهيم تعريف نشده مجموعه ها و تعلق در نظريه ي اعداد، مفاهيم تعريف نشده اعداد طبيعي ، صفر و تابع توالي .در نظريه ي اعداد حقيقي (گاهي اوقات با عنوان ميدان مرتب ارشميدسي) مفاهيم تعريف نشده عبارت است از اعداد حقيقي ، صفر ، يك، جمع، ضرب، و كمتر از .
در اين مثال ها دو گروه از مفاهيم مشاده مي شود: مجموعه ها يا اعداد طبيعي يا اعداد حقيقي از سويي ؛ تعلق ، صفر، يك ، توالي، جمع، ضرب ، كمتر از و ... از سويي ديگر.
مفاهيم نوع اول اشياي اصلي مورد مطالعه هستند؛ مفاهيم نوع دوم استفاده مي شوند تا خواص ساختاري اساسي اشياي نوع اول را بازتاب دهند.سپس ليست مي كنيم از يك مجموعه از اصول موضوعه كه خواص ساختاري اساسي اهداف مورد مطالعه را بدست مي دهند.
انتظار آن مي رود كه براساس اين مفاهيم تعريف نشده و اصول موضوعه، مفاهيم ديگر بتوانند تعريف شوند.پس نظريه با معرفي بيشتر و بيشتر مفاهيم و اثبات بيشتر و بيشتر قضايا توسعه يافته است.
به وضوح ما بايد زباني داشته باشيم تا بتوانيم يك نظريه را توسعه دهيم.شبيه هر يك از زبان هاي طبيعي، مانند لاتين، سانسكريت، تاميل و مانند آن يك زبان مناسب براي يك نظريه ي رياضي نيز يك الفبا خواهد داشت.اما بر خلاف زبان هاي طبيعي، يك گزاره در يك نظريه رياضي به صورت نمادين بيان مي شود، و نيز داراي ساختار نحوي نامبهم خواهد بود. پيش از ارائه ي تعريف دقيق، ما مثال هاي ارائه خواهيم داد از گزاره هايي در برخي نظريه ها كه با آن ها آشنا هستيم.
مثال 1.1.1 گزاره ي زير را در نظريه ي گروه ها در نظر بگيريد: براي هر x ، y ي موجود است چنان كه x . y = e .در اينجا . (نقطه) نمادي است براي عمل دوتايي گروه و e نمادي است براي عنصر هماني.اگر ما از نماد براي نشان دادن براي هر و از براي وجود دارد استفاده كنيم، خواهيم توانست گزاره هاي بالا را به شكل زير نمايش دهيم:
مثال 1.1.2 موارد زير دو گزاره در نظريه ي گروه ها هستند:
و
گزاره ي اول نمايش نماديني است از عبارت "براي هر دو مجموعه ي مفروض x و y ، مجموعه ي z شامل هر دوي xوy موجود است" و گزاره ي دوم يعني " مجموعه اي مانند x شامل هر مجموعه ي y موجود نيست".
مي بينيم كه زبان يك نظريه بايد شامل "متغيرها"يي براي نمايش اهداف (اشياي) مورد مطالعه است، براي مثال ، مجموعه ها در نظريه ي مجموعه ها، يا عناصر يك گروه در نظريه ي گروه ها ، و برخي نمادهاي منطقي نظير (وجود دارد)، ( و) (نقيض)، =(برابري).اين نمادها در زبان تمامي نظريه ها مشترك اند.ما آن ها را نمادهاي منطقي مي ناميم.به عبارت ديگر الفباي خاصي براي نمايش مفاهيم تعريف نشده يك نظريه ي مشخص وجود دارد.براي مثال، در نظريه گروه ها ما از دو نماد استفاده مي كنيم: از نقطه براي عمل گروه و از نماد e براي عنصر هماني؛ در نظريه ي مجموعه ها ما نماد رابطه ي دوتايي را براي مفهوم تعريف نشده ي تعلق به كار مي بريم.
ما كمي بيشتر به تماشا مي پردازيم پيش از ارائه ي اولين تعريف در موضوع. رياضي دانان از بسياري از رابط ها و صورها نظير (يا)، (و)، (وجود دارد)، (براي هر) ، (اگر ... ، آن گاه ...)، و (اگر و تنها اگر). به هر حال، در منطق آنان " دو عبارت A و B هر دو صحيح هستند" اگر و تنها اگر "آن درست نيست كه هر يك از A يا B نادرست است"؛ " Aايجاب مي كند B را" اگر و تنها اگر" يا A نادرست است يا B درست" و مشابه آن.اين نشان مي دهد كه برخي از رابط ها و صورهاي منطقي مي توانند به جاي يك ديگر تعريف شوند.بنابراين، ما مي توانيم با تعدادي از رابط ها و صورهاي منطقي شروع كنيم.اين صرفه جويي ما را در كوتاه كردن بسياري از برهان ها كمك خواهد كرد.
يك زبان مرتبه اول L مشتمل بر دو نوع از نمادهاست: نمادهاي منطقي و نمادهاي غيرمنطقي. نمادهاي منطقي مشتمل بر يك دنباله از متغيرهاي ؛ رابط هاي منطقي (نقيض) و (ياي فصل)؛ يك صور منطقي (صور وجودي) و نماد برابري = است. ما فرض مي كنيم كه متغير هاي به ترتيب الفبايي مرتب شده است. اين ها در تمامي زبان هاي مرتبه اول مشترك اند. بسته به نظريه، نمادهاي غير منطقي L مشتمل بر يك مجموعه (تهي يا ناتهي) از نمادهاي ثابت ؛ براي هر عدد صحيح n، يك مجموعه ي نمادهاي تابع n تايي ؛ و يك مجموعه ي نمادهاي رابطه n تايي .
چنان كه از متن مشخص است، يك زبان مرتبه اول به طور ساده يك زبان خوانده خواهد شد.از آنجا كه نمادهاي منطقي براي همه ي زبان ها يكي هستند،براي مشخص كردن يك زبان بايد تنها نمادهاي غير منطقي آن را مشخص نمود.براي اجتناب از پسوندها و براي راحتي در خواندن، ما از نمادهاي ، با يا بدون زيرنويس براي نمايش متغيرها استفاده خواهيم كرد. هر دنباله ي متناهي از نمادهاي يك زبان L يك عبارت در L ناميده خواهد شد.
يك زبان L شمارا ناميده مي شود اگر تنها داراي تعداد قابل شمارشي از نمادهاي غير منطقي باشد؛ متناهي ناميده مي شود اگر داراي تعداد متناهي نماد غير منطقي باشد.
مثال 1.1.3 زبان براي نظريه ي مجموعه ها تنها داراي يك نماد غيرمنطقي است: يك نماد رابطه ي دوتايي براي "تعلق".
مثال 1.1.4 زبان براي نظريه گروه ها شامل يك نماد ثابت e (براي عنصر هماني) و يك نماد تابع عمل دوتايي . (براي عمل گروه) است.
مثال 1.1.5 زبان براي نظريه ي حلقه ها به ازاي هماني دو عنصر ثابت 0 و 1 و دو نماد تابع دوتايي + و . دارد.
مثال 1.1.6 زبان براي نظريه ي ميدان هاي مرتب دو نماد ثابت 0 و 1، دو نماد تابع دوتايي + و . ، و يك نماد رابطه ي دوتايي دارد.
يك زبان مرتبه اول يك توسيع زبان ديگر ناميده مي شود اگر هر نماد ثابت يك نماد ثابت باشد و هر نماد تابع (رابطه ي) n تايي يك نماد تابع (رابطه ي) n تايي است.
مثال 1.1.7 زبان براي ميدان هاي مرتب يك توسيع زبان براي نظريه ي حلقه ها با هماني است.
تمرين 1.1.8 نشان دهيد كه مجموعه ي همه ي عبارت هاي يك زبان شمارا شمارا است.
1.2 اصطلاحات يك زبان
ما اكنون اصطلاحات يك زبان L را تعريف مي كنيم. به بيان كلي،اين اصطلاحات متناظر با عبارت هاي جبري هستند.
مجموعه ي همه ي اصطلاحات يك زبان كوچكترين مجموعه ي از عبارت هاي كه شامل تمامي متغيرها و نمادهاي ثابت و بسته تحت عمل زير است: هرگاه ، كه نماد تابع n تايي دلخواه است.به طور معادل، همه ي اصطلاحات يك زبان مي توانند به طور مشابه به شكل زير تعريف شوند: متغيرها و نمادهاي ثابت اصطلاحات رتبه 0 هستند؛ اگر اصطلاحات رتبه ي k ، و اگر يك نماد تابع n تايي باشد، آن گاه يك اصطلاح رتبه ي حداكثر k+1 است. بنابراين، رتبه ي يك اصطلاح t كوچكترين عدد طبيعي k است چنان كه t از رتبه ي k است.
توجه كنيد كه مجموعه ي اصطلاحات متغير-آزاد كوچكترين مجموعه ي از عبارات كه شامل تمامي نمادهاي ثابت و بسته تحت عمل زير است: هرگاه ، آن گاه ، كه هر نماد تابع n تايي L است.
ما آزادانه از پرانتز ها و علامت هاي كاما در يك روش متعارف براي سهولت در خوانش استفاده خواهيم كرد.براي مثال، ما اغلب مي نويسيم به جاي ، و t+s به جاي +ts. همچنين وقتي كه امكان اشتباه وجود نداشته باشد پرانتزها را حذف خواهيم كرد. بعدا، ما عرف شركت پذيري به راست براي حذف پرانتز ها را خواهيم پذيرفت. براي مثال، به جاي نوشتن ، خواهيم نوشت . توجه شود كه اصطلاح برابر با نيست.اين اصطلاح تنها با استفاده از پرانتزها مي تواند نوشته شود،مگر اينكه، البته، كسي آن را به شكل زير بنويسد
به طور مشابه، نمايش زير خواهد بود
مثال 1.2.1 فرض كنيد L زبان براي نظريه ي حلقه ها با هماني باشد : L دو نماد ثابت دارد، 0 و 1، و دو نماد تابع دوتايي ، + و *.فرض كنيد اصطلاح "جمع" 1 با خودش m مرتبه را نمايش دهد، چنان كه اصطلاح زير است:
براي هر اصطلاح t ، بگيريد را نمايش اصطلاح بدست آمده توسط "ضرب" t با خودش n مرتبه چنان كه اصطلاح زير است:
پس و اصطلاحات L هستند.همچنين هر "چندجمله اي صوري"
كه x يك متغير است، يك اصطلاح L است.
در اين بخش ما گام اول را در راستاي منطق و تعريف دقيقي از مفهوم يك نظريه ي مرتبه اول بر خواهيم داشت.
1.1زبان هاي مرتبه اول
اشياي مورد مطالعه در علوم طبيعي وجود فيزيكي دارد. در طرف مقابل، اشيا در رياضيات مفاهيمي چون مجموعه ها، تعلق ( )، اعداد طبيعي، اعداد حقيقي، اعداد مختلط، خطوط، خم ها، جمع، ضرب و مانند اين هاست.
در يك نظريه بايد همواره مفاهيم اوليه اي موجود باشد. براي آن كه كمي دقيق تر آن را بررسي كنيم، توجه كنيد كه يك مفهوم مي تواند توسط ديگر مفاهيم تعريف شود. براي مثال ، x-y عدد يكتاي z است چنان كه ؛ يا اگر x و y مجموعه باشند، اگر براي هر عنصر z ، ايجاب كند . بنابراين، تفريق به جاي جمع و زيرمجموعه ( ) به جاي تعلق ( ) مي تواند تعريف شود.
در آغاز، با تعداد كمينه اي از مفاهيم تعريف نشده آغاز مي كنيم.براي مثال، در نظريه ي گروه ها ، مفاهيم تعريف نشده مجموعه ها و تعلق در نظريه ي اعداد، مفاهيم تعريف نشده اعداد طبيعي ، صفر و تابع توالي .در نظريه ي اعداد حقيقي (گاهي اوقات با عنوان ميدان مرتب ارشميدسي) مفاهيم تعريف نشده عبارت است از اعداد حقيقي ، صفر ، يك، جمع، ضرب، و كمتر از .
در اين مثال ها دو گروه از مفاهيم مشاده مي شود: مجموعه ها يا اعداد طبيعي يا اعداد حقيقي از سويي ؛ تعلق ، صفر، يك ، توالي، جمع، ضرب ، كمتر از و ... از سويي ديگر.
مفاهيم نوع اول اشياي اصلي مورد مطالعه هستند؛ مفاهيم نوع دوم استفاده مي شوند تا خواص ساختاري اساسي اشياي نوع اول را بازتاب دهند.سپس ليست مي كنيم از يك مجموعه از اصول موضوعه كه خواص ساختاري اساسي اهداف مورد مطالعه را بدست مي دهند.
انتظار آن مي رود كه براساس اين مفاهيم تعريف نشده و اصول موضوعه، مفاهيم ديگر بتوانند تعريف شوند.پس نظريه با معرفي بيشتر و بيشتر مفاهيم و اثبات بيشتر و بيشتر قضايا توسعه يافته است.
به وضوح ما بايد زباني داشته باشيم تا بتوانيم يك نظريه را توسعه دهيم.شبيه هر يك از زبان هاي طبيعي، مانند لاتين، سانسكريت، تاميل و مانند آن يك زبان مناسب براي يك نظريه ي رياضي نيز يك الفبا خواهد داشت.اما بر خلاف زبان هاي طبيعي، يك گزاره در يك نظريه رياضي به صورت نمادين بيان مي شود، و نيز داراي ساختار نحوي نامبهم خواهد بود. پيش از ارائه ي تعريف دقيق، ما مثال هاي ارائه خواهيم داد از گزاره هايي در برخي نظريه ها كه با آن ها آشنا هستيم.
مثال 1.1.1 گزاره ي زير را در نظريه ي گروه ها در نظر بگيريد: براي هر x ، y ي موجود است چنان كه x . y = e .در اينجا . (نقطه) نمادي است براي عمل دوتايي گروه و e نمادي است براي عنصر هماني.اگر ما از نماد براي نشان دادن براي هر و از براي وجود دارد استفاده كنيم، خواهيم توانست گزاره هاي بالا را به شكل زير نمايش دهيم:
مثال 1.1.2 موارد زير دو گزاره در نظريه ي گروه ها هستند:
و
گزاره ي اول نمايش نماديني است از عبارت "براي هر دو مجموعه ي مفروض x و y ، مجموعه ي z شامل هر دوي xوy موجود است" و گزاره ي دوم يعني " مجموعه اي مانند x شامل هر مجموعه ي y موجود نيست".
مي بينيم كه زبان يك نظريه بايد شامل "متغيرها"يي براي نمايش اهداف (اشياي) مورد مطالعه است، براي مثال ، مجموعه ها در نظريه ي مجموعه ها، يا عناصر يك گروه در نظريه ي گروه ها ، و برخي نمادهاي منطقي نظير (وجود دارد)، ( و) (نقيض)، =(برابري).اين نمادها در زبان تمامي نظريه ها مشترك اند.ما آن ها را نمادهاي منطقي مي ناميم.به عبارت ديگر الفباي خاصي براي نمايش مفاهيم تعريف نشده يك نظريه ي مشخص وجود دارد.براي مثال، در نظريه گروه ها ما از دو نماد استفاده مي كنيم: از نقطه براي عمل گروه و از نماد e براي عنصر هماني؛ در نظريه ي مجموعه ها ما نماد رابطه ي دوتايي را براي مفهوم تعريف نشده ي تعلق به كار مي بريم.
ما كمي بيشتر به تماشا مي پردازيم پيش از ارائه ي اولين تعريف در موضوع. رياضي دانان از بسياري از رابط ها و صورها نظير (يا)، (و)، (وجود دارد)، (براي هر) ، (اگر ... ، آن گاه ...)، و (اگر و تنها اگر). به هر حال، در منطق آنان " دو عبارت A و B هر دو صحيح هستند" اگر و تنها اگر "آن درست نيست كه هر يك از A يا B نادرست است"؛ " Aايجاب مي كند B را" اگر و تنها اگر" يا A نادرست است يا B درست" و مشابه آن.اين نشان مي دهد كه برخي از رابط ها و صورهاي منطقي مي توانند به جاي يك ديگر تعريف شوند.بنابراين، ما مي توانيم با تعدادي از رابط ها و صورهاي منطقي شروع كنيم.اين صرفه جويي ما را در كوتاه كردن بسياري از برهان ها كمك خواهد كرد.
يك زبان مرتبه اول L مشتمل بر دو نوع از نمادهاست: نمادهاي منطقي و نمادهاي غيرمنطقي. نمادهاي منطقي مشتمل بر يك دنباله از متغيرهاي ؛ رابط هاي منطقي (نقيض) و (ياي فصل)؛ يك صور منطقي (صور وجودي) و نماد برابري = است. ما فرض مي كنيم كه متغير هاي به ترتيب الفبايي مرتب شده است. اين ها در تمامي زبان هاي مرتبه اول مشترك اند. بسته به نظريه، نمادهاي غير منطقي L مشتمل بر يك مجموعه (تهي يا ناتهي) از نمادهاي ثابت ؛ براي هر عدد صحيح n، يك مجموعه ي نمادهاي تابع n تايي ؛ و يك مجموعه ي نمادهاي رابطه n تايي .
چنان كه از متن مشخص است، يك زبان مرتبه اول به طور ساده يك زبان خوانده خواهد شد.از آنجا كه نمادهاي منطقي براي همه ي زبان ها يكي هستند،براي مشخص كردن يك زبان بايد تنها نمادهاي غير منطقي آن را مشخص نمود.براي اجتناب از پسوندها و براي راحتي در خواندن، ما از نمادهاي ، با يا بدون زيرنويس براي نمايش متغيرها استفاده خواهيم كرد. هر دنباله ي متناهي از نمادهاي يك زبان L يك عبارت در L ناميده خواهد شد.
يك زبان L شمارا ناميده مي شود اگر تنها داراي تعداد قابل شمارشي از نمادهاي غير منطقي باشد؛ متناهي ناميده مي شود اگر داراي تعداد متناهي نماد غير منطقي باشد.
مثال 1.1.3 زبان براي نظريه ي مجموعه ها تنها داراي يك نماد غيرمنطقي است: يك نماد رابطه ي دوتايي براي "تعلق".
مثال 1.1.4 زبان براي نظريه گروه ها شامل يك نماد ثابت e (براي عنصر هماني) و يك نماد تابع عمل دوتايي . (براي عمل گروه) است.
مثال 1.1.5 زبان براي نظريه ي حلقه ها به ازاي هماني دو عنصر ثابت 0 و 1 و دو نماد تابع دوتايي + و . دارد.
مثال 1.1.6 زبان براي نظريه ي ميدان هاي مرتب دو نماد ثابت 0 و 1، دو نماد تابع دوتايي + و . ، و يك نماد رابطه ي دوتايي دارد.
يك زبان مرتبه اول يك توسيع زبان ديگر ناميده مي شود اگر هر نماد ثابت يك نماد ثابت باشد و هر نماد تابع (رابطه ي) n تايي يك نماد تابع (رابطه ي) n تايي است.
مثال 1.1.7 زبان براي ميدان هاي مرتب يك توسيع زبان براي نظريه ي حلقه ها با هماني است.
تمرين 1.1.8 نشان دهيد كه مجموعه ي همه ي عبارت هاي يك زبان شمارا شمارا است.
1.2 اصطلاحات يك زبان
ما اكنون اصطلاحات يك زبان L را تعريف مي كنيم. به بيان كلي،اين اصطلاحات متناظر با عبارت هاي جبري هستند.
مجموعه ي همه ي اصطلاحات يك زبان كوچكترين مجموعه ي از عبارت هاي كه شامل تمامي متغيرها و نمادهاي ثابت و بسته تحت عمل زير است: هرگاه ، كه نماد تابع n تايي دلخواه است.به طور معادل، همه ي اصطلاحات يك زبان مي توانند به طور مشابه به شكل زير تعريف شوند: متغيرها و نمادهاي ثابت اصطلاحات رتبه 0 هستند؛ اگر اصطلاحات رتبه ي k ، و اگر يك نماد تابع n تايي باشد، آن گاه يك اصطلاح رتبه ي حداكثر k+1 است. بنابراين، رتبه ي يك اصطلاح t كوچكترين عدد طبيعي k است چنان كه t از رتبه ي k است.
توجه كنيد كه مجموعه ي اصطلاحات متغير-آزاد كوچكترين مجموعه ي از عبارات كه شامل تمامي نمادهاي ثابت و بسته تحت عمل زير است: هرگاه ، آن گاه ، كه هر نماد تابع n تايي L است.
ما آزادانه از پرانتز ها و علامت هاي كاما در يك روش متعارف براي سهولت در خوانش استفاده خواهيم كرد.براي مثال، ما اغلب مي نويسيم به جاي ، و t+s به جاي +ts. همچنين وقتي كه امكان اشتباه وجود نداشته باشد پرانتزها را حذف خواهيم كرد. بعدا، ما عرف شركت پذيري به راست براي حذف پرانتز ها را خواهيم پذيرفت. براي مثال، به جاي نوشتن ، خواهيم نوشت . توجه شود كه اصطلاح برابر با نيست.اين اصطلاح تنها با استفاده از پرانتزها مي تواند نوشته شود،مگر اينكه، البته، كسي آن را به شكل زير بنويسد
به طور مشابه، نمايش زير خواهد بود
مثال 1.2.1 فرض كنيد L زبان براي نظريه ي حلقه ها با هماني باشد : L دو نماد ثابت دارد، 0 و 1، و دو نماد تابع دوتايي ، + و *.فرض كنيد اصطلاح "جمع" 1 با خودش m مرتبه را نمايش دهد، چنان كه اصطلاح زير است:
براي هر اصطلاح t ، بگيريد را نمايش اصطلاح بدست آمده توسط "ضرب" t با خودش n مرتبه چنان كه اصطلاح زير است:
پس و اصطلاحات L هستند.همچنين هر "چندجمله اي صوري"
كه x يك متغير است، يك اصطلاح L است.
